概率公式总结

我们定义形如\(F(x) (x\in[0,1])\)\(F(1) = 1\)\(F\)为递增函数的函数为概率函数。

其中\(F(x)\)的定义是当\(t\)小于\(x\)时的概率。

公式1

$ \text{令}\mathrm T(x){为概率函数,}\mathrm G(x)\text{为在}x\text{点时的概率(一个变量),那么} \mathrm F(x) = \int_0^x\mathrm T‘(t)\mathrm G(t)\mathrm d t\text{为此时的概率函数。}(x \in [0,1])$

$ \text{假定} F(1) = T(1) = 1.$

例一

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解答

不妨令T\(_a(x)\)表示在a个点的情况下,角度小于x的概率。这里采用度数\(=2x\pi\) 的换算,也就是说,$ x \in [0,1] $。

显然,\(\mathrm{T}_a(1) = 1\)

\(\mathrm{T}_2(x) = 2x[x \in [0,0.5]]\)

\(\mathrm{T}_3(x)\) = \(x\mathrm{T}_2(x) + \int_0^x \mathrm{T}'_2(t) (x-t) \mathrm d t (x \in [0,0.5])\) \
= \(3x^2 (x \in [0,0.5])\)

\(\mathrm{T}_4(x)\) = \(x\mathrm{T}_3(x) + \int_0^x \mathrm{T}'_3(t) (x - t) \mathrm d t (x \in [0,0.5])\) \
= \(4x^3 (x \in [0,0.5])\)

所以,\(\mathrm{T}_4(0.5) = 1/2\)

Q. E. D.

Ex. 更特别地,观察$\mathrm{T}_2(x) = 2x,\mathrm{T}_3(x) = 3x^2,\mathrm{T}_0(x) = 4x^3 $, 容易猜想 \(\mathrm{T}_n(x) = nx^{n-1}\)

$\mathrm{T}_2(x) = 2x^{2-1}, $

\(\mathrm{T}_n(x) = x\mathrm{T}_{n-1}(x) + \int_0^x \mathrm{T}'_{n-1}(t) (x-t) \mathrm d t\)

\(\color{white}{\mathrm{T}_n(x)} = (n-1)x^{n-1} + \int_0^x (n-1)(n-2)t^{n-3}(x-t) \mathrm d t\)

\(\color{white}{\mathrm{T}_n(x)} = (n-1)x^{n-1} + (n-1)(n-2) \int_0^x xt^{n-3} -t^{n-2} \mathrm d t\)

$ \color{white}{\mathrm{T}_n(x)}=n x ^{n-1}$

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