性能 – 随机SVD奇异值

随机SVD通过使用k p个随机投影提取前k个奇异值/向量来分解矩阵.这对于大型矩阵来说效果非常好.

我的问题涉及从算法输出的奇异值.如果你做完整的SVD,为什么这些值不等于第一个k-奇异值?

下面我在R中有一个简单的实现.任何关于提高性能的建议都将受到赞赏.

rsvd = function(A, k=10, p=5) {
       n = nrow(A)
       y = A %*% matrix(rnorm(n * (k+p)), nrow=n)
       q = qr.Q(qr(y))
       b = t(q) %*% A
       svd = svd(b)
       list(u=q %*% svd$u, d=svd$d, v=svd$v)
       }

> set.seed(10)

> A <- matrix(rnorm(500*500),500,500)

> svd(A)$d[1:15]
 [1] 44.94307 44.48235 43.78984 43.44626 43.27146 43.15066 42.79720 42.54440 42.27439 42.21873 41.79763 41.51349 41.48338 41.35024 41.18068

> rsvd.o(A,10,5)$d
 [1] 34.83741 33.83411 33.09522 32.65761 32.34326 31.80868 31.38253 30.96395 30.79063 30.34387 30.04538 29.56061 29.24128 29.12612 27.61804
计算

我认为你的算法是对Martinsson et al.算法的修改.如果我理解正确,这特别适用于低秩矩阵的近似.我可能错了.

差异很容易通过A(500)的实际等级与k(10)和p(5)的值之间的巨大差异来解释.此外,Martinsson等人提到p的值实际上应该大于k的选择值.

因此,如果我们将您的考虑因素考虑在内,请使用:

set.seed(10)
A <- matrix(rnorm(500*500),500,500) # rank 500
B <- matrix(rnorm(500*50),500,500)  # rank 50

我们发现,与原始svd算法相比,使用更大p值仍会导致巨大的加速时间.

> system.time(t1 <- svd(A)$d[1:5])
   user  system elapsed 
    0.8     0.0     0.8 

> system.time(t2 <- rsvd(A,10,5)$d[1:5])
   user  system elapsed 
   0.01    0.00    0.02 

> system.time(t3 <- rsvd(A,10,30)$d[1:5])
   user  system elapsed 
   0.04    0.00    0.03 

> system.time(t4 <- svd(B)$d[1:5]       )
   user  system elapsed 
   0.55    0.00    0.55 

> system.time(t5 <-rsvd(B,10,5)$d[1:5]  )
   user  system elapsed 
   0.02    0.00    0.02 

> system.time(t6 <-rsvd(B,10,30)$d[1:5]  )
   user  system elapsed 
   0.05    0.00    0.05 

> system.time(t7 <-rsvd(B,25,30)$d[1:5]  )
   user  system elapsed 
   0.06    0.00    0.06

但我们看到,对较低秩矩阵使用较高的p确实给出了更好的近似.如果我们让k也接近等级,那么真实解与近似之间的差异就变成了appx. 0,而速度增益仍然很大.

> round(mean(t2/t1),2)
[1] 0.77

> round(mean(t3/t1),2)
[1] 0.82

> round(mean(t5/t4),2)
[1] 0.92

> round(mean(t6/t4),2)
[1] 0.97

> round(mean(t7/t4),2)
[1] 1

总的来说,我相信可以得出结论:

应该选择> p,所以p> k(如果我是对的话,Martinsson称之为l)
> k不应与等级(A)有太大差别
>对于低秩矩阵,结果通常更好.

Optimalization:

就我而言,这是一种巧妙的方式.实际上,我真的找不到更优化的方式.我唯一可以说的是建议t(q)%*%A被建议不要.应该使用crossprod(q,A),这应该更快一点.但在你的例子中,差异是不存在的.

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