基环树略解

基环树

基环树,也叫 环套树,是一种图的类型。如果连通图 \(G=\{V,E\}\)\(|V|=|E|\),则我们称它是基环树。

顾名思义,基环树就好似是在一棵树上加一条边得到的图。基环树有且仅有一个环,所以也被成为环套树。
在这里插入图片描述
如上图所示的图就是一棵基环树。

用途

基环树没什么用。

它只能解决部分特殊问题,而这类问题通常会注明“边数=点数”,解法也比较单一,常被与其他算法一同考察。

我们来看几道例题。


luogu P1453 城市环路)今有基环树 \(G=\{V,E\}\),定义\[ans=\sum_{i=1}^{N}{a_i·b_i}\]\(\forall i\in[1,N]∩\N^*\)\(b_i\in\{0,1\}\),且 \(\forall e=(u,v)\in E\)\(b_u\text{ and }b_v=0\)\(\text{and}\) 表示按位与运算)。求 \(ans_{\max}\)

Solution 本题中如果 \(N=M+1\),这显然就是“没有上司的舞会”了。

考虑将新问题转化成已解决的问题。我们发现,环上有且仅有一条边对计算不产生影响,删除它即可。由一条边上的两个点不能被同时选中,不难想到给每个点设置两个状态:选中(1)与不选中(0);并查集找环,删除一条边后做树形动态规划即可解决此题。时间复杂度 \(O(N\alpha(N))\)

参考代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>

const int MAXN=100010;

int fa[MAXN];
int a[MAXN];
int sx,sy,fx,fy;
int ST,ED;
int n;

struct node{
    int x,y,next;
}e[MAXN+MAXN];
int len=0;
int first[MAXN];
int ans;
int f[MAXN][3];


int findfa(int x){
    if(x==fa[x]) return x;
    return fa[x]=findfa(fa[x]);
}
void ins(int x,int y){
    e[++len].x=x;e[len].y=y;
    e[len].next=first[x];first[x]=len;
}
int max(int x,int y){
    return x>y?x:y;
}
void dfs(int x,int last){
    f[x][1]=a[x];f[x][0]=0;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].next){
        int y=e[i].y;
        if(y==last) continue;
        dfs(y,x);
        f[x][0]+=max(f[y][1],f[y][0]);
        f[x][1]+=f[y][0];
    }
}
inline int read(){
    int x=0; char c;
    do c=getchar(); while(c<'0'||c>'9');
    while(c>='0'&&c<='9')
        x=x*10+c-48,c=getchar();
    return x;
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        a[i]=read();
        fa[i]=i;
    }
    memset(first,0,sizeof(first));
    for(int i=1;i<=n;++i){
        sx=read()+1;sy=read()+1;
        fx=findfa(sx);fy=findfa(sy);
        if(fx==fy){
            ST=sx;ED=sy;
            continue;
        }
        ins(sx,sy);ins(sy,sx);
        fa[fx]=fy;
    }
    memset(f,0,sizeof(f));
    dfs(ST,0);ans=f[ST][0];
    dfs(ED,0);ans=max(ans,f[ED][0]);
    double k;
    scanf("%lf",&k);
    printf("%.1lf",ans*k);
}

接下来的这道习题与例题的思路不太一样。

练习 1[NOIp2018] luogu P5022 旅行)有一棵基环树 \(T\),你初始在一个点上。每次可以从下列选项中选择一项执行:

  1. 沿着一条边走到一个没有访问过的点;
  2. 沿着一条边返回一个访问过的点。

你需要依此法访问所有的 \(N\) 个点。每个点被首次访问的顺序形成了一个序列,求这个序列字典序最小的那个。

基环树的建图同样重要。
练习 2luogu P2607 [ZJOI2008]骑士)有 \(N\) 个人,每个人有两个值:\(d_i\) 战斗力,\(t_i\) 讨厌的人的编号(\(t_i\neq i\))。从这 \(N\) 个人中选出若干个人,使他们讨厌的人没被选中,且他们的战斗力之和最大。

总结

基环树的初步内容较少,解法单一,经常与其他算法一同出现。

解决基环树上问题的关键点就是:处理额外边,将原问题转化成树上问题。

本文列举了两种处理额外边的方法,难免有所疏漏敬请指正。此外,如果读者有好题推荐可以在评论区留言,我会尽量回复。感谢阅读。

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