写在前面
前面几节分别介绍了模型变换,视变换,本节继续学习OpenGL坐标变换过程中的投影变换。这里主要是从数学角度推导投影矩阵。对数学不感兴趣的,可以稍微了解下,或者跳过本节内容。
本文主要翻译并整理自 songho OpenGL Projection Matrix一文,这里对他的推导思路稍微进行了整理。
通过本节可以了解到
OpenGL最终的渲染设备是2D的,我们需要将3D表示的场景转换为最终的2D形式,前面使用模型变换和视变换将物体坐标转换到照相机坐标系后,需要进行投影变换,将坐标从相机—》裁剪坐标系,经过透视除法后,变换到规范化设备坐标系(NDC),最后进行视口变换后,3D坐标才变换到屏幕上的2D坐标,这个过程如下图所示:
投影变换通过指定视见体(viewing frustum)来决定场景中哪些物体将可能会呈现在屏幕上。在视见体中的物体会出现在投影平面上,而在视见体之外的物体不会出现在投影平面上。投影包括很多类型,OpenGL中主要考虑透视投影(perspective projection)和正交投影( orthographic projection)。两者之间存在很大的区别,如下图所示(图片来自Modern OpenGL):
上面的图中,红色和黄色球在视见体内,因而呈现在投影平面上,而绿色球在视见体外,没有在投影平面上成像。
指定视见体通过(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble nearVal, GLdouble farVal)6个参数来指定。注意在相机坐标系下,相机指向-z轴,nearVal和farVal表示的剪裁平面分别为:近裁剪平面
透视投影中,相机坐标系中点被映射到一个标准立方体中,即规范化设备坐标系中,其中
注意到上面的相机坐标系为右手系,而NDC中+z轴向内,为左手系。
求出投影矩阵的目标就是要找到一个透视投影矩阵P使得下式成立:
投影时原先位于相机坐标系中的点
需要空间想象一下,可以得出左边的图是俯视图,右边是侧视图。
利用三角形的相似性,通过俯视图可以计算得到:
即:
同理通过侧视图可以得到:
由(1)(2)这个式子可以发现,他们都除以了
其中
则可以得到
将(r,1)带入上式得到:
带入式子3得到:
将式子1带入式子5得到:
由式子6可以得到:
对于
同理也可以计算得到:
由式子7和9可以得到矩阵P的前两行和第四行为:
由于
则有:
要求出系数A,B则,利用
则
将A,B代入矩阵P得到:
上述矩阵时一般的视见体矩阵,如果视见体是对称的,即满足
另外一种经常使用 的方式是通过视角(Fov),宽高比(Aspect)来指定透视投影,例如旧版中函数gluPerspective,参数形式为:
API void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble zNear, GLdouble zFar);
其中指定fovy指定视角,aspect指定宽高比,zNear和zFar指定剪裁平面。fovy的理解如下图所示(来自opengl 投影):
这些参数指定的是一个对称的视见体,如下图所示(图片来自Working with 3D Environment):
由这些参数,可以得到:
对应上述透视投影矩阵中:
则得到透视投影矩阵为:
相比于透视投影,正交投影矩阵的推导要简单些,如下图所示:
对于正交投影,有