最详细的渲染管线流程，OpenGL学习脚印: 投影矩阵和视口变换矩阵(math-projection and viewport matrix)

时间  2018-01-04
标签 opengl 3d 栏目 应用数学
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写在前面 
前面几节分别介绍了模型变换，视变换，本节继续学习OpenGL坐标变换过程中的投影变换。这里主要是从数学角度推导投影矩阵。对数学不感兴趣的，可以稍微了解下，或者跳过本节内容。

本文主要翻译并整理自 songho OpenGL Projection Matrix一文，这里对他的推导思路稍微进行了整理。

通过本节可以了解到

  • 透视投影矩阵的推导
  • 正交投影矩阵的 推导
  • 视口变换矩阵的推导
  • zFighting问题

投影变换

OpenGL最终的渲染设备是2D的，我们需要将3D表示的场景转换为最终的2D形式，前面使用模型变换和视变换将物体坐标转换到照相机坐标系后，需要进行投影变换，将坐标从相机—》裁剪坐标系，经过透视除法后，变换到规范化设备坐标系(NDC)，最后进行视口变换后，3D坐标才变换到屏幕上的2D坐标，这个过程如下图所示：

坐标变换

投影变换通过指定视见体(viewing frustum)来决定场景中哪些物体将可能会呈现在屏幕上。在视见体中的物体会出现在投影平面上，而在视见体之外的物体不会出现在投影平面上。投影包括很多类型，OpenGL中主要考虑透视投影(perspective projection)和正交投影( orthographic projection)。两者之间存在很大的区别，如下图所示(图片来自Modern OpenGL)：

投影类型

上面的图中，红色和黄色球在视见体内，因而呈现在投影平面上，而绿色球在视见体外，没有在投影平面上成像。

指定视见体通过(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble nearVal, GLdouble farVal)6个参数来指定。注意在相机坐标系下，相机指向-z轴，nearVal和farVal表示的剪裁平面分别为:近裁剪平面 z=−nearVal ，以及远裁剪平面 z=−farVal 。推导投影矩阵，就要利用这6个参数。在OpenGL中成像是在近裁剪平面上完成。

透视投影矩阵的推导

透视投影中，相机坐标系中点被映射到一个标准立方体中，即规范化设备坐标系中，其中 [l,r]映射到[−1,1] ， [b,t] 映射到[-1,1]中，以及 [n,f] 被映射到 [−1,1] ，如下图所示： 
视见体和NDC

注意到上面的相机坐标系为右手系，而NDC中+z轴向内，为左手系。

我们的目标

求出投影矩阵的目标就是要找到一个透视投影矩阵P使得下式成立： 

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=P∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥

⎡⎣⎢xnynzn⎤⎦⎥=⎡⎣⎢xc/wcyc/wczc/wc⎤⎦⎥

上面的除以 wclip 过程被称为透视除法。要找到我们需要的矩阵P，我们需要利用两个关系:

  • 投影位置 xp , yp 和相机坐标系中点 xe , ye之间关系。投影后对于z分量都是 z_{p}=-nearVal$。
  • 利用 xp ， yp 和 xndc，yndc 关系求出 xclip,yclip 。
  • 利用 zn 与 ze 关系得出 zclip

计算投影平面上的位置

投影时原先位于相机坐标系中的点 p=(xe,ye,ze) 投影到投影平面后，得到点 p′=(xp,yp,−nearVal) 。具体过程如下图所示： 
投影平面上的点

需要空间想象一下，可以得出左边的图是俯视图，右边是侧视图。 
利用三角形的相似性，通过俯视图可以计算得到: 
xpxe=−nze  
即:  xp=xen−ze(1.1)
同理通过侧视图可以得到： 
yp=yen−ze(1.2)

由(1)(2)这个式子可以发现，他们都除以了 −ze 这个量，并且与之成反比。这可以作为透视除法的一个线索，因此我们的矩阵P的形式如下： 

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢...0...0...−1...0⎤⎦⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥

也就是说 wc=−ze 。 
下面利用投影点和规范化设备坐标的关系计算出矩阵P的前面两行。 
对于投影平面上 xp 满足 [l,r] 线性映射到 [−1,1] 对于 yp 满足 [b,t] 线性映射到 [−1,1] 。

其中 xp 的映射关系如下图所示：

投影点xp线性映射

则可以得到 xp 的线性关系： 
xn=2r−lxp+β(1.3)
将(r,1)带入上式得到： 
β=−r+lr−l  
带入式子3得到： 
xn=2r−lxp−r+lr−l(1.4)
将式子1带入式子5得到： 

xn=2xenr−l∗1−ze−r+lr−l=(2xenr−l+r+lr−l∗ze)−ze(1.5)

由式子6可以得到: 
xc=2nr−lxe+r+lr−l∗ze(1.6)

对于 yp 的映射关系如下： 
投影点yp线性映射 
同理也可以计算得到: 

yn=2yent−b∗1−ze−t+bt−b=(2yent−b+t+bt−b∗ze)−ze(1.7)

yc=2nt−bye+t+bt−b∗ze(1.8)

由式子7和9可以得到矩阵P的前两行和第四行为： 

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l0.002nt−b.0r+lr−lt+bt−b.−100.0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥

由于 ze 投影到平面时结果都为 −n ，因此寻找 zn 与之前的x,y分量不太一样。我们知道 zn 与x,y分量无关，因此上述矩阵P可以书写为： 

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−bA−100B0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥

则有： zn=Aze+Bwe−ze ,由于相机坐标系中 we=1 ，则可以进一步书写为： 
zn=Aze+B−ze(1.9)

要求出系数A,B则，利用 zn 与 ze 的映射关系为：(-n，-1)和(-f,1)，代入式子10得到： 
A=−f+nf−n 和 B=−2fnf−n ， 
则 zn 与 ze 的关系式表示为： 
zn=−f+nf−nze−2fnf−n−ze(1.10)
将A，B代入矩阵P得到：

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−b−(f+n)f−n−100−2fnf−n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(透视投影矩阵)

上述矩阵时一般的视见体矩阵，如果视见体是对称的，即满足 r=−l,t=−b ，则矩阵P可以简化为： 

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢nr0000nt0000−(f+n)f−n−100−2fnf−n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(简化的透视投影矩阵)

使用Fov指定的透视投影

另外一种经常使用 的方式是通过视角(Fov)，宽高比(Aspect)来指定透视投影，例如旧版中函数gluPerspective，参数形式为：

API void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble zNear, GLdouble zFar);

其中指定fovy指定视角，aspect指定宽高比，zNear和zFar指定剪裁平面。fovy的理解如下图所示(来自opengl 投影)： 
fov

这些参数指定的是一个对称的视见体，如下图所示(图片来自Working with 3D Environment)： 
perspective

由这些参数，可以得到： 
h=near∗tan(θ2)  
w=h∗aspect  
对应上述透视投影矩阵中： 
r=−l,r=w  
t=−b,t=h  
则得到透视投影矩阵为： 

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢cot(θ2)aspect0000cot(θ2)0000−(f+n)f−n−100−2fnf−n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(Fov透视投影矩阵)

正交投影矩阵的推导

相比于透视投影，正交投影矩阵的推导要简单些，如下图所示： 
正交投影

对于正交投影，有 xp=xe,yp=ye ，因而可以直接利用 xe 与 xn 的映射关系： [l,−1],[r,1] ，利用 ye 和 yn 的映射关系： [b,−1],[t,1] ，以及 ze 和

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