最详细的渲染管线流程,OpenGL学习脚印: 投影矩阵和视口变换矩阵(math-projection and viewport matrix)

写在前面 
前面几节分别介绍了模型变换视变换,本节继续学习OpenGL坐标变换过程中的投影变换。这里主要是从数学角度推导投影矩阵。对数学不感兴趣的,可以稍微了解下,或者跳过本节内容。

本文主要翻译并整理自 songho OpenGL Projection Matrix一文,这里对他的推导思路稍微进行了整理。

通过本节可以了解到

  • 透视投影矩阵的推导
  • 正交投影矩阵的 推导
  • 视口变换矩阵的推导
  • zFighting问题

投影变换

OpenGL最终的渲染设备是2D的,我们需要将3D表示的场景转换为最终的2D形式,前面使用模型变换和视变换将物体坐标转换到照相机坐标系后,需要进行投影变换,将坐标从相机—》裁剪坐标系,经过透视除法后,变换到规范化设备坐标系(NDC),最后进行视口变换后,3D坐标才变换到屏幕上的2D坐标,这个过程如下图所示:

坐标变换

投影变换通过指定视见体(viewing frustum)来决定场景中哪些物体将可能会呈现在屏幕上。在视见体中的物体会出现在投影平面上,而在视见体之外的物体不会出现在投影平面上。投影包括很多类型,OpenGL中主要考虑透视投影(perspective projection)和正交投影( orthographic projection)。两者之间存在很大的区别,如下图所示(图片来自Modern OpenGL):

投影类型

上面的图中,红色和黄色球在视见体内,因而呈现在投影平面上,而绿色球在视见体外,没有在投影平面上成像。

指定视见体通过(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble nearVal, GLdouble farVal)6个参数来指定。注意在相机坐标系下,相机指向-z轴,nearVal和farVal表示的剪裁平面分别为:近裁剪平面 z=nearVal ,以及远裁剪平面 z=farVal 。推导投影矩阵,就要利用这6个参数。在OpenGL中成像是在近裁剪平面上完成。

透视投影矩阵的推导

透视投影中,相机坐标系中点被映射到一个标准立方体中,即规范化设备坐标系中,其中 [l,r][1,1] [b,t] 映射到[-1,1]中,以及 [n,f] 被映射到 [1,1] ,如下图所示: 
视见体和NDC

注意到上面的相机坐标系为右手系,而NDC中+z轴向内,为左手系。

我们的目标

求出投影矩阵的目标就是要找到一个透视投影矩阵P使得下式成立: 

xcyczcwc=Pxeyezewe

xnynzn=xc/wcyc/wczc/wc

上面的除以 wclip 过程被称为透视除法。要找到我们需要的矩阵P,我们需要利用两个关系:

  • 投影位置 xp , yp 和相机坐标系中点 xe , yez z_{p}=-nearVal$。
  • 利用 xp yp xndcyndc 关系求出 xclip,yclip
  • 利用 zn ze 关系得出 zclip

计算投影平面上的位置

投影时原先位于相机坐标系中的点 p=(xe,ye,ze) 投影到投影平面后,得到点 p=(xp,yp,nearVal) 。具体过程如下图所示: 
投影平面上的点

需要空间想象一下,可以得出左边的图是俯视图,右边是侧视图。 
利用三角形的相似性,通过俯视图可以计算得到: 
xpxe=nze  
即:  xp=xenze(1.1)
同理通过侧视图可以得到: 
yp=yenze(1.2)

由(1)(2)这个式子可以发现,他们都除以了 ze 这个量,并且与之成反比。这可以作为透视除法的一个线索,因此我们的矩阵P的形式如下: 

xcyczcwc=...0...0...1...0xeyezewe

也就是说 wc=ze 。 
下面利用投影点和规范化设备坐标的关系计算出矩阵P的前面两行。 
对于投影平面上 xp 满足 [l,r] 线性映射到 [1,1] 对于 yp 满足 [b,t] 线性映射到 [1,1]

其中 xp 的映射关系如下图所示:

投影点xp线性映射

则可以得到 xp 的线性关系: 
xn=2rlxp+β(1.3)
将(r,1)带入上式得到: 
β=r+lrl  
带入式子3得到: 
xn=2rlxpr+lrl(1.4)
将式子1带入式子5得到: 

xn=2xenrl1zer+lrl=(2xenrl+r+lrlze)ze(1.5)

由式子6可以得到: 
xc=2nrlxe+r+lrlze(1.6)

对于 yp 的映射关系如下: 
投影点yp线性映射 
同理也可以计算得到: 

yn=2yentb1zet+btb=(2yentb+t+btbze)ze(1.7)

yc=2ntbye+t+btbze(1.8)

由式子7和9可以得到矩阵P的前两行和第四行为: 

xcyczcwc=2nrl0.002ntb.0r+lrlt+btb.100.0xeyezewe

由于 ze 投影到平面时结果都为 n ,因此寻找 zn 与之前的x,y分量不太一样。我们知道 zn 与x,y分量无关,因此上述矩阵P可以书写为: 

xcyczcwc=2nrl00002ntb00r+lrlt+btbA100B0xeyezewe

则有: zn=Aze+Bweze ,由于相机坐标系中 we=1 ,则可以进一步书写为: 
zn=Aze+Bze(1.9)

要求出系数A,B则,利用 zn ze 的映射关系为:(-n,-1)和(-f,1),代入式子10得到: 
A=f+nfn B=2fnfn , 
zn ze 的关系式表示为: 
zn=f+nfnze2fnfnze(1.10)
将A,B代入矩阵P得到:

P=2nrl00002ntb00r+lrlt+btb(f+n)fn1002fnfn0()

上述矩阵时一般的视见体矩阵,如果视见体是对称的,即满足 r=l,t=b ,则矩阵P可以简化为: 

P=nr0000nt0000(f+n)fn1002fnfn0()

使用Fov指定的透视投影

另外一种经常使用 的方式是通过视角(Fov),宽高比(Aspect)来指定透视投影,例如旧版中函数gluPerspective,参数形式为:

API void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble zNear, GLdouble zFar);

其中指定fovy指定视角,aspect指定宽高比,zNear和zFar指定剪裁平面。fovy的理解如下图所示(来自opengl 投影): 
fov

这些参数指定的是一个对称的视见体,如下图所示(图片来自Working with 3D Environment): 
perspective

由这些参数,可以得到: 
h=neartan(θ2)  
w=haspect  
对应上述透视投影矩阵中: 
r=l,r=w  
t=b,t=h  
则得到透视投影矩阵为: 

P=cot(θ2)aspect0000cot(θ2)0000(f+n)fn1002fnfn0(Fov)

正交投影矩阵的推导

相比于透视投影,正交投影矩阵的推导要简单些,如下图所示: 
正交投影

对于正交投影,有 xp=xe,yp=ye ,因而可以直接利用 xe xn 的映射关系: [l,1],[r,1] ,利用 ye yn 的映射关系: [b,1],[t,1] ,以及 ze

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