BZOJ 2440 中山市选2011 完全平方数 二分答案+容斥原理+莫比乌斯反演

题目大意:求第k个无平方因子数是多少(无视原题干,1也是完全平方数那岂不是一个数也送不出去了?

无平方因子数(square-free number),即质因数分解之后所有质因数的次数都为1的数

首先二分答案 问题转化为求x以内有多少个无平方因子数

根据容斥原理可知 对于√x以内的所有质数 x以内的无平方因子数=无需是任何质数的倍数的数的数量(即x)-是至少一个质数平方倍数的数的数量+是至少两个质数平方倍数的数的数量-是至少三个质数平方倍数的数的数量...

我们回去考虑莫比乌斯函数,我们发现每一个质数乘积的符号与莫比乌斯函数的符号恰好吻合!

于是我们枚举每一个数,如果这个数是奇数个不同质数的乘积,那么mu为负,偶数个则mu为正,否则mu为零

故答案即Σx/(i*i)*mu[i]

大早上起来连线性筛都打不对我也是醉了。。。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 44723
using namespace std;
int mu[M]={0,1},prime[M],tot;
bool not_prime[M];
void Linear_Shaker()
{
	int i,j;
	for(i=2;i<M;i++)
	{
		if(!not_prime[i])
			mu[i]=-1,prime[++tot]=i;
		for(j=1;prime[j]*i<M;j++)
		{
			not_prime[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				mu[prime[j]*i]=0;
				break;
			}
			mu[prime[j]*i]=-mu[i];
		}
	}
}
int Judge(int x)
{
	int i,re=0;
	for(i=1;i*i<=x;i++)
		re+=x/(i*i)*mu[i];
	return re;
}
int Bisection(int k)
{
	int l=1,r=k<<1;
	while(l+1<r)
	{
		int mid=(l>>1)+(r>>1)+(l&r&1);
		if( Judge(mid)>=k )
			r=mid;
		else
			l=mid;
	}
	if( Judge(l)>=k )
		return l;
	return r;
}
int main()
{
	int T,k;
	Linear_Shaker();
	for(cin>>T;T;T--)
	{
		scanf("%d",&k);
		printf("%d\n",Bisection(k) );
	}
	return 0;
}
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