# Dot Product

Because the dot product results in a scalar, it is also called the scalar product.

## algebraic view of dot product

a⃗ b⃗ =a1b1+a2b2+a3b3

## geometric view of dot product

a⃗ b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |cos(θ)

Now, if two vectors are orthogonal then we know that the angle between them is 90 degrees:

a⃗ b⃗ =0

Likewise, if two vectors are parallel then the angle between them is either 0 degrees (pointing in the same direction) or 180 degrees (pointing in the opposite direction):

a⃗ b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |  (θ=0)a⃗ b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |  (θ=180)

## Projections

There is an nice formula for finding the projection of b⃗  $\vec{b}$ onto a⃗  $\vec{a}$. Here it is,

proja⃗ b⃗ =a⃗ b⃗ |a⃗ |2a⃗

Note that we also need to be very careful with notation here. The projection of a⃗  $\vec{a}$ onto b⃗  $\vec{b}$ is given by:

projb⃗ a⃗ =a⃗ b⃗ |b⃗ |2b⃗

# Cross Product

We should note that the cross product requires both of the vectors to be three dimensional vectors. The result of a dot product is a number and the result of a cross product is a vector!

## Area and Determinants

1、把向量 A⃗  $\vec {A}$ 旋转90度，因此得到了 sinθ=cosθ $sin\theta=cos{\theta}^{'}$
2、由于是旋转，所以向量 A⃗  $\vec A$ 的长度不变
3、通过旋转，我们得到了 A,θ,B $A^{'}, \theta^{'}, B$，可以应用点积公式了

## cross product 的定义

1、 A⃗ ×B⃗ =(B⃗ ×A⃗ ) $\vec A × \vec B=-(\vec B × \vec A)$
2、根据1，可得 A⃗ ×A⃗ =0 $\vec A × \vec A=0$

## Volumes and Determinants

determinant 同样可以求体积：

# Linear Systems and Planes

1、没有解。3个平面平行，或者其中的2个平面相交的直线平行与第3个平面（第3个平面不包含这条线）

2、1个解。其中的2个平面相交的直线与第3个平面也相交， AX=B $AX=B$ 的解为 X=A1B $X=A^{-1}B$

3、无穷多个解。3个平面重合，或者第3个平面包含其中的2个平面相交的直线

The linear system Ax=b $Ax=b$ is called homogeneous if b=0 $b=0$; otherwise, it is called inhomogeneous. 下面是2个定理：

Theorem 1. Let A $A$ be an n×n $n × n$ matrix.

• |A|0Ax=b $|A|\ne0 \Rightarrow Ax=b$ has the unique solution, x=A1b $x=A^{-1}b$
• |A|0Ax=0 $|A|\ne0 \Rightarrow Ax=0$ has only the trivial solution, x=0 $x=0$

Theorem 2. Let A $A$ be an n×n $n × n$ matrix.

• |A|=0Ax=0 $|A|=0 \Rightarrow Ax=0$ has non-trivial (i.e., non-zero) solutions.
• |A|=0Ax=b $|A|=0 \Rightarrow Ax=b$ usually has no solutions, but has solutions for some b $b$.

# 用 second derivative 测试判断 local minimum, maximum and saddle point

At a critical point (x0,y0) $(x_0, y_0)$ of f $f$, let A=fxx(x0,y0) $A=f_{xx}(x_0, y_0)$, B=fxy(x0,y0)(=fyx(x0,y0)) $B=f_{xy}(x_0, y_0)(=f_{yx}(x_0, y_0))$ and C=fyy(x0,y0) $C=f_{yy}(x_0, y_0)$, so:

• If ACB2>0 $AC-B^2\gt0$ and A>0 $A\gt0$, local minimum.
• If ACB2>0 $AC-B^2\gt0$ and A<0 $A\lt0$, local maximum.
• If ACB2<0 $AC-B^2\lt0$, saddle point.
• If ACB2=0 $AC-B^2=0$, can’t conclude.

# Total Differentials and the Chain Rule

f(x,y,z) $f(x,y,z)$ 的全微分：

df=fxdx+fydy+fzdz=fxdx+fydy+fzdz

N.B. 一定要区分开 d $d$ $\partial$，它们分别代表着全微分和偏微分，当你用偏微分时，切记它不能做简化，比如：

df $df$ 不是 Δf $\Delta f$，上面的全微分你可以解释成 x,y,z $x,y,z$ 的 infinitesimal 变化怎么影响 f $f$，但是 Denis Auroux 教授更喜欢把它解释成 tangent approximation， ΔffxΔx+fyΔy+fzΔz $\Delta f\approx f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+f_{z}\Delta z$，当这些 Δ $\Delta$ 变量趋于0时，约等于就变成了等于。

Denis Auroux 教授给我们用一种更好的方式解释了标号为15的那幅图： f $f$ 的变化取决于变量 x $x$ y $y$, 而 x $x$ y $y$ 的变化又取决于变量 u $u$ v $v$，所以当我们想找出 f $f$ u $u$ 之间的变化关系时，即 fu $\frac{\partial f}{\partial u}$，我们可以把它解释成 u $u$ 的变化会影响到变量 x $x$ y $y$，接着变量 x $x$ y $y$ 的变化会影响到 f $f$，所以有标号为15的那幅图的公式。

# 梯度和方向导数

## Velocity, speed and arc length

Δs|Δr|=(Δx)2+(Δy)2

ΔsΔtΔrΔt=(ΔxΔt)2+(ΔyΔt)2

Taking the limit as Δt0 $\Delta t\rightarrow 0$ gives:

dsdt=drdt=(dxdt)2+(dydt)2=|v⃗ |=speed

The unit tangent vector is a unit vector in the same direction as the tangent vector. We usually denote it T⃗  $\vec{T}$. We compute it by dividing the tangent vector by its length. Here are several ways of writing this.

T⃗ =v⃗ |v⃗ |=dr⃗ /dtds/dt=v⃗ ds/dt

Gradients are orthogonal to level curves and level surfaces.

level curves 也就是2个变量的函数的 contour line; level surfaces 就是：

A level surface, or level set of a function of three variables, f (x, y, z), is a surface of the form f (x, y, z) = c, where c is a constant. The. function f can be represented by the family of level surfaces obtained. by allowing c to vary.

dwdt=wxdxdt+wydydt+wzdzdt=Wdr⃗ dt

## Directional Derivatives

dwds|p0,u⃗ =limΔs0ΔwΔs=w(P0)u⃗

dwds=dwdr⃗ dr⃗ ds=wx,wy,wzdr⃗ ds=wu⃗ ^

# Lagrange Multipliers

lagrange multipliers 用于解决带有约束的优化问题。下面是对 lagrange multipliers 整个方法内容的定义：

So, let’s get things set up. We want to optimize (i.e. find the minimum and maximum value of) a function, f(x,y,z) $f(x,y,z)$, subject to the constraint g(x,y,z)=k $g(x,y,z)=k$. Again, the constraint may be the equation that describes the boundary of a region or it may not be. The process is actually fairly simple, although the work can still be a little overwhelming at times.

# Constrained Differentials

1. 假设三角形为直角三角形，因此这就存在上图右侧的隐式约束，在这种情况下，还分为以下2种情况：

• 保持 a $a$ 不变，即求解 (Aθ)a $\left( \dfrac {\partial A} {\partial \theta }\right) _{a}$
• 保持 b $b$ 不变，即求解 (Aθ)b $\left( \dfrac {\partial A} {\partial \theta }\right) _{b}$
2. 没有任何约束，也就是变量 a,b,θ $a,b,\theta$ 之间是相互独立的，所以我们只需要求解 (Aθ)a,b $\left( \dfrac {\partial A} {\partial \theta }\right) _{a,b}$

# Double Integrals

Volume=Rf(x,y)dA

1、想像一个平行于 y,z $y,z$ 轴的平面，沿着 x $x$ 轴横扫，因此我们有如下公式，实际上中括号内部的公式表示的是 slices 的面积，乖上 dx $dx$ 以后就是一个小的体积，然后沿着 x $x$ 轴方向积分。

ba[dcf(x,y)dy]dx

2、想像一个平行于 x,z $x,z$ 轴的平面，沿着 y $y$ 轴横扫，因此我们有如下公式，道理和上面相似。

dc[baf(x,y)dx]dy

Volume=Rf(x,y)dA=dcbaf(x,y)dxdy=dcbaf(x,y)dxdy

1、长方形的区域 R $R$. 正如下图所示，当你 slice 变量 x $x$ 时，变量 y $y$ 的范围并不随着变量 x $x$ 的变化而变化; 同样的道理，当你 slice 变量 y $y$ 时，变量 x $x$ 的范围并不随着变量 y $y$ 的变化而变化。因此在这种情况下，交换积分的顺序很简单，如下图所示。

2、任意形的区域 R $R$. 从下图中可以看到，当你 slice 变量 x $x$ 时，变量 y $y$ 的范围随着变量 x $x$ 的取值而变化; 同样的道理，当你 slice 变量 y $y$ 时，变量 x $x$ 的范围也随着变量 y $y$ 的取值而变化。因此在这种情况下，交换积分的顺序就会变得复杂一些，如下图所示，下图中出现的错误我用红笔已经改过来了。

# Double Integrals in Polar Coordinates

## Change of Variables

While often the reason for changing variables is to get us an integral that we can do with the new variables, another reason for changing variables is to convert the region into a nicer region to work with.

1、 dx,dy $dx,dy$ vs du,dv $du,dv$

dA=dxdy $dA=dxdy$ 的含义就是 xy-coordinates 中待积分区域中的一小块面积，当我们想把变量 x,y $x,y$ 转换成 u,v $u,v$ 时，需要知道 uv-coordinates 平面中的 dA=dudv $dA'=dudv$. The Jacobian of the transformation x=g(u,v) $x=g(u,v)$, y=h(u,v) $y=h(u,v)$ is:

(x,y)(u,v)=xuyuxvyv

2、用新的变量替代 integrand.

3、找出新变量相对应的边界。

Change of Variables 中的例子4也是关于 ellipse 的非常好的例子，它通过直接代入把 ellipse 的区域（变量 x,y $x,y$）转换成了圆形区域（变量 u,v $u,v$），然后由于求解积分对于极坐标来说更容易，它又转换成了极坐标（变量 r,θ $r,\theta$）.

# 积分在物理上的应用

Applications: Mass and Average Value

## Mass Of Object

3D:Mass=RδdV2D:Mass=RδdA

## Average Value

f¯=1babaf(x)dxweighted(f¯)=1baw(x)dxbaf(x)w(x)dx

f¯=1RdARfdA=1RfdAweighted(f¯)=1RδdARfδdA=1MassRfδdA

f¯=1RdVRfdV=1RfdVweighted(f¯)=1RδdVRfδdV=1MassRfδdV

## Center Of Mass

(x¯,y¯)=(1RδdARxδdA,1RδdARyδdA)

(x¯,y¯,z¯)=(1RδdVRxδdV,1RδdVRyδdV,1RδdVRzδdV)

## Moment of Inertia

For a point mass, m $m$, the moment of inertia about the line is:

I=md2

where d $d$ is the distance from the mass to the line. (The letter I is a standard notation for moment of inertia.) If we have a distributed mass we compute the moment of inertia by summing the contributions of each of its parts. If the mass has a continuous distribution, this sum is, of course, an integral.

Ix=R(y2+z2)δdVIy=R(x2+z2)δdVIz=R(x2+y2)δdV=Rr2δdV