[JZOJ5509] 兔子

Description

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Solution

我们发现最后的答案是前K个的次幂相乘的形式

于是可以矩阵乘法求出对应的指数

指数可能会爆,并且底数与模数不一定互质
那么用扩展欧拉定理

xc{xc,xc%φ(m)+φ(m),c<mcm(modm)

只需要在里面加个变量判断是否超过 φ(m) 即可

但是m很大,所以求 φ 要用pollard_rho

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 11
#define LL long long
using namespace std;
LL a[N],m,n,mo,pr[70],md,l,sv;
int d[5]={2,3,5,7,10007};
bool pd;
LL ksd(LL x,LL y,LL md)
{
    if(y==0||x==0)return 0;
    LL s=ksd(x,y/2,md);
    if(s+s>md) pd=1;
    return(y%2)?((s+s)%md+x)%md:(s+s)%md;
}
struct node
{
    LL a[N][N];
    friend node operator *(node x,node y)
    {
        node z;
        memset(z.a,0,sizeof(z.a));
        fo(i,1,m) 
        {
            fo(j,1,m)
            {
                fo(k,1,m) z.a[i][j]=(z.a[i][j]+ksd(x.a[i][k],y.a[k][j],md))%md;
            }
        }
        return z;
    }
}s,sq;
node ksm(node k,LL n)
{
    node s=k;
    n--;
    for(;n;k=k*k,n>>=1) if(n&1) s=s*k;
    return s;
}
LL km(LL k,LL n,LL mo)
{
    LL s=1;
    for(;n;k=ksd(k,k,mo),n>>=1) if(n&1) s=ksd(s,k,mo);
    return s;
}
LL gcd(LL x,LL y)
{
    return(!y)?x:gcd(y,x%y);
}
LL rd(LL k)
{
    return ((rand()*rand()%k*rand()%k*rand()%k)+rand())%k;
}
bool pd1(LL k)
{
    fo(i,0,4)
    {
        if(k==d[i]) return 1;
        if(k%d[i]==0) return 0;
        LL t,n=k-1;
        while((n&1)==0) n>>=1;
        t=km(d[i],n,k);
        while(n<k-1&&t!=1&&t!=k-1) t=ksd(t,t,k),n<<=1;
        if(!((n&1)||t==k-1)) return 0;
    }   
    return 1;
}
LL get(LL k)
{
    LL c=rd(1e9)+1,r,x,y,i=1,n=2;
    x=y=rd(k-1)+1;
    while(1)
    {
        i++;
        x=(ksd(x,x,k)+c)%k;
        if(x==y) return k;
        r=gcd(abs(x-y),k);
        if(1<r&&r<k) return r;
        if(i==n) y=x,n<<=1;
    }
}
void fd(LL k)
{
    if(k==1) return;
    if(pd1(k))
    {
        pr[++pr[0]]=k;
        return;
    }
    LL p=k;
    while(p==k&&p!=1) p=get(k);
    fd(k/p),fd(p);
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&m,&n,&mo);
        fo(i,1,m) scanf("%lld",&a[i]),a[i]%=mo;
        l=0;
        if(n<=100000)
        {
            if(n<=m) printf("%lld\n",a[n]);
            else
            {
                int w=1;
                LL s;
                fo(i,m+1,n)
                {
                    s=1;
                    fo(j,1,m) s=s*a[j]%mo;
                    a[w]=s;
                    w=w%m+1;
                }
                printf("%lld\n",s);
            }
        }
        else
        {
            md=1;
            LL m1=mo,lm=sqrt(mo);
            memset(sq.a,0,sizeof(sq.a));
            pr[0]=0;
            fd(mo);
            sort(pr+1,pr+pr[0]+1);
            md=pr[1]-1;
            fo(i,2,pr[0])
            {
                if(pr[i]!=pr[i-1]) md=md*(LL)(pr[i]-1);
                else md=md*pr[i];
            }
            fo(i,1,m-1) sq.a[i+1][i]=1;
            fo(i,1,m) sq.a[i][m]=1;
            pd=0;
            sq=ksm(sq,n-m);
            LL ans=1;
            fo(i,1,m)
            {
                memset(s.a,0,sizeof(s.a));
                s.a[1][i]=1;
                s=s*sq;
                ans=ksd(ans,km(a[i],s.a[1][m]+(pd)*md,mo),mo);
            }
            printf("%lld\n",(ans+mo)%mo);
        }
    }
}
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